Ce chapitre ne traite pas des Développements généralisés.

Définition

Un développement limité (DL) est une approximation polynomiale de fonctions au voisinage d'un point. Si une telle approximation existe, elle permet de lever certaines indéterminations lors de calculs de limites, ainsi que de simplifier l'étude locale de fonctions.
Un exemple serait l'approximation des petits angles qui indique que pour un angle \(\theta\) proche de zéro, \(cos(\theta)\) vaux 1 et \(sin(\theta)\) vaux \(\theta\), qui n'est qu'un développement limité de premier ordre.
Cette approximation locale conserve la parité de la fonction.

Notation

Un DL a l'ordre \(n\) en \(x_0\), s'il existe, se note donc \(DL_n(x_0) \space de \space f\), et on cherche donc un polynôme \(P(x)\) tel que, au voisinage de \(x_0\) :
\[ f(x) = P(x-x_0) + o_{x_0}(x^n) \]
avec \(o_{x_0}(x^n)\) une fonction négligeable devant \(x^n\).
Le plus souvent, on considère le DL en 0. Si ce n'est pas le cas, alors on posera une variable qui s'annulera en \(x = x_0\).

Existence et Unicité

Un \(DL_{n}(x_0)\) existe si et seulement si \(f\) est continue en \(x_0\) et dérivable \(n\) fois.
Si un \(DL_n\) existe, il est unique (sa partie polynomiale est unique) et tout \(DL_p\) avec \(p < n\) existe.
Si \(f\) admet un \(DL_n\), alors toute primitive \(F\) et \(f\) admet un \(DL_{n+1}\) trouvable par intégration de la partie
Si \(f\) admet un \(DL_n\), alors \(\displaystyle 1 \over f\) en admet un aussi. Dans la pratique, on considérera le plus souvent \(1 \over {1 + u}\) avec \(u = f-1\).

Opérations

Les \(DL_n\) sont stables par combinaisons linéaires. Ils sont aussi stables par produits, avec leurs résultats tronqué au rand \(n\).

DL Usuels

Tous les DL montrés ici sont en 0. De plus, cette liste est une version simplifier. Pour certaine formule, notamment celle de \(1 \over 1+u\), il suffit de prendre \(-u\) et de prendre en compte la parité de la puissance. De même, ce tableau est présenté avec un réel \(x\) mais il est le même pour les DL composés

Fonction	DL d'ordre n
\(e^x\)	\(1+x+{x^2 \over 2!} +{x^3 \over 3!}+ ... +{x^n \over n!} + o(x^n)\)
\(cos(x)\)	\(1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} ... + o(x^n)\)
\(sin(x)\)	\(x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} + ... + o(x^n)\)
\((1+x)^a\)	\(1 + ax + {a(a-1) \over 2!}x^2 + {a(a-1)(a-2) \over 3!}x^3 + ... +o(x^n)\)
\(1 \over 1-x\)	\(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 ... + o(x^n)\)
\(ln(1-x)\)	\(-x - {x^2 \over 2} - {x^3 \over 3}+ ... + o(x^n)\)